By Jon Feenstra

Achtung Panzer: The German Invasion of France and the Low nations (Concord 7041)

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Die Funktion Logw ist auf C− holomorph. Es gilt: Log w = 1 w f¨ ur alle w ∈ C− . Beweis. Sei w0 ∈ C− . ¨ 1. Den Beweis der Stetigkeit stellen wir als Ubungsaufgabe. 2. Die Differenzierbarkeit in w0 ∈ C folgt wie bei Umkehrfunktionen u ¨blich: sei (wn ) eine ur alle n. Setze Folge mit wn ∈ C− , wn → w0 mit wn = w0 f¨ zn := Logwn und z0 := Logw0 Wegen der Stetigkeit von Log folgt zn → z0 . Wir rechnen zn − z 0 Logwn − Logw0 1 1 1 = z0 = lim zn = lim . 7 Die holomorphe Funktion Log : C− → C heißt Hauptzweig des komplexen Logarithmus.

Wir wollen abschließend noch kurz erkl¨aren, warum das Einsetzungsprinzip so wichtig ist. 14. Sei U ⊂ K n offen. Betrachte eine Klasse F (U ) von Funktionen auf U . Das k¨onnen etwa sein die auf U stetigen, differenzierbaren, holomorphen oder eben die analytischen Funktionen. Sei nun V ⊂ K n ebenfalls offen und f :U →V eine stetige (bzw. differenzierbare oder holomorphe) Abbildung. Auf Grund der Kettenregel ist dann f¨ ur jedes ϕ ∈ F (V ) die Funktion f ∗ (ϕ) auf V wieder stetig (bzw. differenzierbar oder holomorph).

Aus der Definition folgt sofort j(0; n) = 1 2πi 2π 0 ineint dt = n eint ur jedes z ∈ B. 3 j(z; n ) = n f¨ Integralsatz homotope Wege gleichen Index haben, folgt, dass f¨ ur n = m die Wege n und onnen. m nicht homotop sein k¨ • Die Aussage j(z; n) = 0 f¨ ur alle z ∈ E folgt aus dem folgenden allgemeineren Lemma. 5. Ist ein geschlossener Weg γ in einer abgeschlossenen Kugel D := {w ∈ C||w−a| ≤ r} enthalten, so ist j(z; γ) = 0 f¨ ur jedes z mit |z − a| > r. Beweis. Es sei γ : I = [b, c] → C und |γ (t)| ≤ M auf diesem Intervall.

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by Robert
4.3

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